若不等式[2x^2+㏒m^(2x+1)]/(4x^2+6x+3)

[2x^2+lgm^(2x+1)]/(4x^2+6x+3) <1<==>(2x+1)lgm<2x^2+6x+3当2x+1>0时,原不等式<==>lgm<(2x^2+6x+3)/(2x+1)=(x+1/2)+1/(4x+2)+4,(x+1/2)+1/(4x+2)+4>=5,所以lgm<5,m<10^5当2x+1>0时,原不等式<==>lgm>(2x^2+6x+3)/(2x+1)=(x+1/2)+1/(4x+2)+4=4-[-(x+1/2)-1/(4x+2)]<=3,所以lgm>3,m>10^3当2x+1=0时,x=-1/2,原不等式不论取何值都成立综上知不等式[2x^2+㏒m^(2x+1)]/(4x^2+6x+3) <1对任何实数x恒成立时,实数m的范围是10^3<m<10^5 收起

解:4x^2+6x+3=4(x+3/4)^2+3/4>0所以[2x^2+lgm^(2x+1)]/(4x^2+6x+3) <1<=>2x^2+lgm^(2x+1)<4x^2+6x+3<=>lgm^(2x+1)<2x^2+6x+3<=>(2x+1)lgm<2x^2+6x+3当2x+1>0,即x>-1/2时<=>lgm<(2x^2+6x+3)/(2x+1)要使得lgm<(2x^2+6x+3)/(2x+1)恒成立,只要满足lgm小于(2x^2+6x+3)/(2x+1)的最小值.(2x^2+6x+3)/(2x+1)=[(x+1/2)^2+2(x+1/2)+1/4]/(x+1/2)=(x+1/2)+(1/4)/(x+1/2)+2≥2√[(x+1/2)(1/4)/(x+1/2)]+2=3当且仅当x+1/2=(1/4)/(x+1/2),即x=0时取等号lgm<3=lg10^3,解得m<1000,由指数定义可知m>0,所以0<m<1000当2x+1=0即x=-1/2时,左边=0,右边=1/2,左边<右边,成立,即m>0当2x+1<0即x<-1/2时<=>lgm>(2x^2+6x+3)/(2x+1)要使得lgm>(2x^2+6x+3)/(2x+1)恒成立,只要lgm大于(2x^2+6x+3)/(2x+1)的最大值(2x^2+6x+3)/(2x+1)=[(x+1/2)^2+2(x+1/2)+1/4]/(x+1/2)=(x+1/2)+(1/4)/(x+1/2)+2=-[-(x+1/2)+(-1/4)(x+1/2)]+2≤-2√[-(x+1/2)*(-1/4)/(x+1/2)]+2=1当且仅当x=-1时取等号所以lgm>1,得m>10综上所述:实数m的取值范围(0,+∞) 收起