已知向量OP1，OP2，OP3满足条件: OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1， 求证：△P1P2P3是正三角形.证明:(数形结合方法)以O为原点建立直角坐标系,一方面,因|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,故可设OP1=(cosu,sinu),OP2=(cosv,sinv),OP3=(cosw,sinw),再由条件OP1+OP2+OP3=0可得OP1+OP2+O 展开
已知向量OP1，OP2，OP3满足条件: OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1， 求证：△P1P2P3是正三角形.证明:(数形结合方法)以O为原点建立直角坐标系,一方面,因|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,故可设OP1=(cosu,sinu),OP2=(cosv,sinv),OP3=(cosw,sinw),再由条件OP1+OP2+OP3=0可得OP1+OP2+OP3=(cosu,sinu)+(cosv,sinv)+(cosw,sinw)=(cosu+cosv+cosw,sinu+sinv+sinw)=0,于是,cosu+cosv+cosw=0,sinu+sinv+sinw=0. (1)另一方面,由|OP1|=|OP2|=|OP3|=1可知,点P1,P2,P3在单位圆上,且它们的坐标分别为P1(cosu,sinu),P2(cosv,sinv),P3(cosw,sinw),于是,△P1P2P3的重心坐标为G((cosu+cosv+cosw)/3,(sinu+sinv+sinw)/3),由(1)知,重心G的坐标为(0,0).如上所述,△P1P2P3的重心G与外心O重合,因此,△P1P2P3是正三角形. 收起
