若a,b,c∈R+，则（a+b+c）/3≥3√abc，当且仅当a=b=c .注:（a+b+c）/3≥3√abc右边的3应当理解为根指数,即所证不等式应为:(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3).证明一: 令a=x^3,b=y^3,c=z^3.因为 x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)62+(z- 展开
若a,b,c∈R+，则（a+b+c）/3≥3√abc，当且仅当a=b=c .注:（a+b+c）/3≥3√abc右边的3应当理解为根指数,即所证不等式应为:(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3).证明一: 令a=x^3,b=y^3,c=z^3.因为 x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)62+(z-x)^2]/2>=0,所以 x^3+y^3+z^3>=3xyz,即 (a+b+c)/3≥(abc)^(1/3).证明二:先证两个数的情形;(a+b)/2>=√(ab). (1)(1)<=>(√a-√b)^2>=0(显然成立)再证四个数的情形;(a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4) (2)反复应用(1)得(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2>=(√(ab)+√(cd))/2>=√[√(ab)√(cd)]=(abcd)^(1/4).最后证三个数的情形;(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3).在(2)中取d=(a+b+c)/3,得(a+b+c+(a+b+c)/3)/4>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4) ,即(a+b+c)/3>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4),两边4次方,并约去(a+b+c)/3得 [(a+b+c)/3]^3>=abc,两边开立方,得(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3) 收起
