如果a＞b＞c,求证1／(a－b)+1／(b－c)≥4／(a－c)

如果a＞b＞c,求证1／(a－b)+1／(b－c)≥4／(a－c) 证明 因为a＞b＞c,所以 a-c=a-b+b-c，b-c>0,a-b>0,a-c>0。令 x=a-b,y=b-c，显然x>0,y>0.所证不等式等价于1/x+1/y≥4/(x+y)<==>(x+y)/(xy)≥4/(x+y)<==>(x+y)^2≥4xy<==>(x-y)^2≥0,显然成立，当2b=a+c时取等号。 收起

因a>b>c,故a-b>=b-c>=0 ==>[(a-b)-(b-c)]^2>=0 ==>[(a-b)+(b-c)]^2>=4(a-b)(b-c) ==>(a-c)/(a-b)(b-c)>=4/(a-c) ==>[(a-b)+(b-c)]/(a-b)(b-c)>=4/(a-c) ==>1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c)。注:本题变换关健a-c=(a-b)+(b-c)。 收起