已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,并且f(1)=1，若a,b∈[-1,1],a+b≠0，有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0 (1)判断f(x)的单调性，并证明你的结论； (2)解不等式f(x-1/2)<f(x-1/4);(3)若f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求m的取值范围.解 设任意x1,x2∈(0,1),且x1& 展开
已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,并且f(1)=1，若a,b∈[-1,1],a+b≠0，有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0 (1)判断f(x)的单调性，并证明你的结论； (2)解不等式f(x-1/2)<f(x-1/4);(3)若f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求m的取值范围.解 设任意x1,x2∈(0,1),且x1<x2,则x1+(-x2)<0,于是已知条件可知[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=[f(x1)+f(-x2)]/(x1-x2)>0,因为x1-x2<0,所以,f(x1)-f(x2)<0,因此,f(x)是在区间[0,1]上单调递增.再由f(x)是[-1,1]上的奇函数可知,f(x)是在区间[-1,0]上也单调递增.从而f(x)在[-1,1]上单调递增.(2)因为f(x)在[-1,1]上单调递增,所以由f(x-1/2)<f(x-1/4)可得 -1<x-1/2<1, -1<x-1/4<1, x-1/2<x-1/4,解上面的不等式组,得不等式f(x-1/2)<f(x-1/4)的解集: {x|-1/2<x<5/4}.(3)若f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求m的取值范围.因为f(x)在[-1,1]上单调递增,所以,对于[-1,1]上的所有x,恒有 f(x)<=f(1)=1,又因为f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1,1]恒成立,所以 1≤m^2-2am+1,即m(m-2a)>=0,因此,当a∈[0,1]时,0<=m<=2a;当a∈[-1,0)时,2a<=m<=0;再由a的任意性可知,m的取值范围是[-2,2]. 收起
