设抛物线y^2=2x.设点A（2^3，0），求抛物线上距离点A最近的点P的坐标,求此最近距离

1.设抛物线y^2=2x.设点A（2^3，0），求抛物线上距离点A最近的点P的坐标,求此最近距离.解 设M(x,y)是抛物线y^2=2x上的任意一点,点M(x,y)到点A（2^3，0）的距离记为d，则有d^2=(x-2^3)^2+(y-0)^2=(x-8)^2+2x=x^2-14x+64=(x-7)^2+15>=15,d>=√15.因为当x=7时,y=√14,或y=-√14,所以,所求点P的坐标为(7,√14)或(7,-√14),最近距离为=√15.2.设点B（a,O)求抛物线上的点到点B距离的最小值d,并写出d=f(a)的表达式.解 (1)当a<=0时,距离的最小值d=-a;(2)当a>0时,设M(x,y)是抛物线y^2=2x上的任意一点,点M(x,y)到点A（2^3，0）的距离记为r，则有r^2=(x-a)^2+(y-0)^2=x^2+(2-a)x+a^2=(x+1-a/2))^2+a^2-(1-a/2)^2,(i)当0<a<2时,r^2>=a^2,(当x=0时等号成立),即d=a;(ii)当a>=2时,r^2>=a^2-(1-a/2)^2=(3/4)a^2+a-1,(当x=a/2-1时等号成立),即d=√((3/4)a^2+a-1).综上所述,f(a)是一个分段函数,表达式如下:f(a)=-a,(a<=0);f(a)=a,(0<a<2);f(a)=√((3/4)a^2+a-1),(a>=2). 收起