已知函数f(x)=2ax-1/x^2,x∈(0,1]

解:(1)f'(x)=2a+2/x^3令f'(x)>0,2a+2/x^3>0,即(ax^3+1)/x^3>0,因为x∈(0,1], 所以ax^3+1>0,a>-1/x^3在x∈(0,1],要使得a>-1/x^3恒成立,则a必须要大于-1/x^3的最大值-1/x^3在x=1处取得最大值-1,所以a>-1a的取值范围 (-1,+∞)(2)当a∈ (-1,+∞)时,f(x)在(0,1]是增函数,x=1处取得最大值f(1)=2a-1当a∈ (-∞,-1]时,f(x)在(0,1]是减函数,无最大值 收起

已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1], (1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数，求a的取值范围, (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.根据楼主昨夜所提的一系列关于函数单调性与最值的问题判断,楼主可能尚未学过导数的内容,故此在下面给出一个完全初等的解法.但愿楼主能够看懂这一解法.解 (1)设x1,x2∈(0,1],且x1<x2,若f(x)在x∈(0,1]是增函数,则f(x1)-f(x2)=2ax1-1/(x1^2)-2ax2+1/(x2^2)=2a(x1-x2)-(1/(x1^2)-1/(x2^2))=2a(x1-x2)-((x2+x1)(x2-x1)/(x1^2*x2^2)=(x1-x2)[2a+(x2+x1)/(x1^2*x2^2)],因为x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0的充分必要条件是:2a+(x2+x1)/(x1^2*x2^2)>0,即2a>-(x2+x1)/(x1^2*x2^2)=-(1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2))记m=sup{-(1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2))},(sup表示上确界)由x1,x2的任意性知,只要2a>m即可.而由x1,x2∈(0,1]可知 1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2)>1+1=2,所以 m=-2,从而 a>-1.又当a=-1时,可以证明f(x)=-2x-1/(x^2)在(0,1]是增函数.因此,a的取值范围是:a>=-1.(2)(i)由(1)知,当a>=-1时,f(x)在(0,1]是增函数,所以fmax=f(1)=2a-1.(ii)当a<-1时,由平均值不等式,得f(x)=2ax-1/(x^2)=-[(-ax)+(-ax)+1/x^2]<=-3a^(2/3),上式的取等条件为:x=-1/a^(1/3),所以,fmax=-3a^(2/3). 收起

f'(x)=2a+2/x^3=(2ax^3+2)/x^3,由f'(x)=0得x=-三次根号下1/a.a>=0,f(x)在(0,1]上为增函数，-1/2<a<0,f(x)在(0,1]上为增函数，a<-1/2,f(x)在(0,1]上先增后减函数，a>=0,f(x)在(0,1]上为增函数，f(x)的最大值为f(1)=2a-1-1<=a<0,f(x)在(0,1]上为增函数，f(x)的最大值为f(1)=2a-1a<-1,f(x)在(0,1]上先增后减函数，f(x)的最大值为f(-三次根号下1/a）=-3*三次根号下a^2. 收起

试题把a当成己知数.那得讨论,1)a>3/2时同上得f(x)max= f(1)=2a-12)a<0时,f`(x)在 (0，1）上是减函数,f(x)max= f(0)=03) 0<=a<=3/2时,f`(x)=2a-3x^2 , f`(x)在 (0，1）上是先增后减函数,平衡点为根号2a/3f(x)max=f(根号2a/3)=2a*根号2a/3-2a/3*根号2a/3=4a/3*根号2a/3 收起