已知x>0,y>0,且x≠y,x^2-y^2=x^3-y^3.求证：1

证明:x^2-y^2=x^3-y^3即(x+y)(x-y)=(x-y)(x^2+xy+y^2)因为x≠y,x>0,y>0,xy>0所以x+y=x^2+xy+y^2<x^2+xy+y^2+xy=x^2+2xy=y^2=(x+y)^2即x+y<(x+y)^2,所以1<x+y(x+y)^2=x^2+y^2+2xy>2xy+2xy=4xy所以xy<(x+y)^2/4所以x+y=x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy>(x+y)^2-(x+y)^2/4=3(x+y)^2/4所以x+y<4/3所以1 <x+y<4/3 收起

由x^2-y^2=x^3-y^3可得 x+y=x^2+y^2+xy……………………（1）令t=x+y则x=t-y,t>0带入（1）式化解得到y^2-ty+t^2-t=0……………………（2）有题目可以知道（2）必定有解由于x≠y，所以y≠t/2所以△>0(因为当△=0时y=t/2)所以t^2-4(t^2-t)>0可得t<4/3又y1+y2>0,y1*y2>0可得t>1所以1 <x+y<4/3 收起